今天在Cousera上学习了Machine Learning的第七周课程，这一周主要介绍了支持向量机（support vector machine），将学习笔记整理在下面。

Support Vector Machine

Large Margin Classification

Optimization Objective

我们通过逻辑回归来引出支持向量机。下图给出了逻辑回归的$h_{\theta}(x)$及其图像，我们将其中的$\theta^Tx$记为z。从training set中取出一组数据（$x^{(i)}$, $y^{(i)}$），若有$y^{(i)}=1$，则我们应该得到$h_{\theta}(x)\approx1$，观察图像可知$\theta^Tx≫0$；相反，若有$y^{(i)}=0$，则我们应该得到$h_{\theta}(x)\approx0$，观察图像可知$\theta^Tx<<0$。

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我们来对逻辑回归的损失函数做一下分析，先在下面给出损失函数：
$$J_{\theta}(x)=-ylog\frac{1}{1+e^{-\theta^Tx}}-(1-y)log(1-\frac{1}{1+e^{-\theta^Tx}})$$

从training set中取出一组数据（$x^{(i)}$, $y^{(i)}$），当$y^{(i)}=1$时，损失函数的第二项为0，此时损失函数就变成了$-log\frac{1}{1+e^{-z}}$，下图左侧为其图像。观察图像可以看到，当给z一个越来越大的值时，函数值变得越来越接近0。现在我们将函数调整为图像中红线对应的函数，叫做$cost_1(z)$。当$y^{(i)}=0$时，损失函数的第一项为0，此时损失函数就变成了$-(1-y)log(1-\frac{1}{1+e^{-z}})$，下图右侧为其图像。观察图像可以看到，当给z一个越来越小的值时，函数值变得越来越接近0。现在我们将函数调整为图像中红线对应的函数，叫做$cost_0(z)$。那么以前求解hypothesis过程中用到的损失函数
$$\min_{\theta}\frac{1}{m}[\sum_{i=1}^{m}y^{(i)}(-logh_{\theta}(x^{(i)}))+(1-y^{(i)})((-log(1-h_{\theta}(x^{(i)}))))]+\frac{\lambda}{2m}\sum_{j=1}^{n}\theta_j^2$$
调整为
$$\min_{\theta}\frac{1}{m}[\sum_{i=1}^{m}y^{(i)}cost_1(\theta^Tx)+(1-y^{(i)})cost_0(\theta^Tx)]+\frac{\lambda}{2m}\sum_{j=1}{n}\theta_j^2$$
此时得到的这个函数就是我们在支持向量机中用到的损失函数，求解此最小值问题得到的$\theta$就是SVM的参数。对于给定的training set，$\frac{1}{m}$是一个固定值，其值不影响最终求得的$\theta$，所以我们将其省掉。

Large Margin Intuition

首先给出SVM的损失函数：

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在逻辑回归中，我们的初衷是对于training set中的任何一组数据($x^{(i)}$, $y^{(i)}$)，若$y^{(i)}=1$，则应该有$\theta^Tx>0$，而在SVM中改成了$\theta^Tx>1$；若$y^{(i)}=0$，则应该有$\theta^Tx<0$，而在svm中改成了$\theta^tx<-1$。在svm中多出来的这个1保证了其训练出来的参数\theta应该可以更好的拟合数据。 首先假设损失函数中的参数c是一个很大的值，我们来观察svm是如何工作的。在对损失函数最小化的过程中，我们需要让$\sum_{i="1}^{m}[y^{(i)}cost_1(\theta^Tx^{(i)})+(1-y^{(i)})cost_0(\theta^Tx^{(i)})]$尽可能的趋近于0，此时我们的目标求解下面的最优化问题：" $$min\frac{1}{2}\sum_{i="1}^{n}\theta_j^2$$" $$s.t.　\theta^tx^{(i)}≥1　if　y^{(i)}="1$$" $$\theta^tx^{(i)}≤-1　if　y^{(i)}="0$$" 我们来看下图中的例子，图中的数据点是线性可分的，也就是说可以找到无数条直线（无数个超平面）来将两个类别完全分开。在下图中画出的三条decision boundary中，黑色直线所表示的那条要优于另外两条，因为它更robust地将两个类别分开了。图中两条蓝色直线分别表示两个类别中数据点与黑色decision boundary的最小距离，这一距离称作SVM中分类超平面关于training set的函数间隔。多个超平面也就对应多个函数间隔，我们将其中最大的函数间隔称作最大函数间隔。因此我们要做的就是找到最大间隔及其对应的最大间隔分离超平面，这个最大间隔分离超平面就是我们最终得到的hypothesis。

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Mathematics Behind Large Margin Classification

这一小节我们来介绍SVM涉及到的一些数学，着有助于理解SVM中的最优化目标，帮助我们更快的找到最大间隔分离超平面。我们来回顾一下内积的概念。下图给出了两个二维向量并在坐标系中画出了他们。图中红色线段p表示向量v在向量u上的投影，两个向量的内积可以表示为
$$u^Tv=p·\parallel{u}\parallel=u_1v_1+u_2v_2$$
其中$\parallel{u}\parallel=\sqrt[2]{u_1^2+u_2^2}$。而在第二个坐标系中，p是负的。

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回到SVM，下图给出了要求解的优化问题，给出了$\theta^Tx^{(i)}$的向量内积表示（这里我们取$x^{(i)}$和、theta都是二维的）：

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所以原来的优化问题就转换成了下图所示的优化问题。，给定一个training set，下图给出了两个decision boundary。在图像中选择两个数据点($x^{(1)}$, $y^{(1)}$)和($x^{(2)}$, $y^{(2)}$)，画出分别对应的$p^{(1)}$和$p^{(2)}$。可以看到，左下侧中$p^{(1)}$和$p^{(2)}$的绝对值都很小，为了满足优化函数中的条件函数，会使得$\parallel{\theta^2}\parallel$的值变得很大，这恰好和我们的目标矛盾。而右下侧中$p^{(1)}$和$p^{(2)}$的绝对值都比较大，所以我们就可以选择一个更小的$\parallel{\theta^2}\parallel$来满足我们的目标。这就在数学上解释了右下侧的decision boundary为什么会优于左下侧的decison boundary。

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Kernels

Kernel Ⅰ

这一小节我们来介绍处理线性不可分的数据集时经常用到的核技巧（kernel trick）。
在没有学习核技巧的情况下，我们需要引入一个多项式来表示decision boundary。

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现在我们在坐标系中选定三个点$l^{(1)}$，$l^{(2)}$，$l^{(3)}$作为landmark，由此出发去产生新的特征。至于如何选择landmark我们后面再给出。具体的方法是对于给定的x有新的特征$f_1=similarity(x, l^{(1)})$，$f_2=similarity(x, l^{(2)})$和$f_3=similarity(x, l^{(3)})$，下图给出了由gaussian kernel给出的$f_i$。当然我们也可以选择其他的kernel来定义。当x很接近$l^{(1)}$时（即有$x≈l^{(1)}$），有$f_1≈1$；当x距离$l^{(1)}$很远时，有$f_1≈0$。对于另外两个特征也是一样，对于training set中任何一个数据都可以通过这种方式来获得新的特征值。

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我们给出一个例子，如下图所示。给出了$l^{(1)}$，$f_1$的定义，图像中的横纵坐标为x的两个维度，第三个维度代表新的特征值。只有当$x=l^{(1)}$时，其对应的新特征值$f_1$达到1，随着x越来越远离$l^{(1)}$，x对应的新特征值逐渐趋向于0。比较$\sigma^2$的不同取值下的三维图像可知，随着$\sigma^2$的减小，$f_1$的取值在$l^{(1)}$的周围变化得快，图像变得尖锐；随着$\sigma^2$的增大，$f_1$的取值在$l^{(1)}$的周围变化得慢，图像变得平缓。

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现在我们将前面的东西应用到分类上，假设现在我们的hypothesis如下图所给公式，其中$\theta=(-0.5, 1, 1, 0)^T$。我们在图像中选出3个数据点，分别计算它们和3个landmarks的相似度，带入hypothesis得到对数据点的分类。利用这种方法，我们可以把坐标系中的数据点分成两类：红色曲线包围的是一类，其余的是一类。

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Kernel Ⅱ

现在我们介绍如何选取landmark。下图给出了具体过程：给定training set，其中包含m个数据点。选择m个landmark，其中$l^{(i)}=x^{(i)}$。

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下图给出了使用了kernel的SVM：

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上面的方法不适用于很大的training set，例如数据量m为5000，那就会有5000个landmark，相应的参数$\theta$的维度也是5000，求解参数则需要特别大的计算量。现在我们来讨论一下参数C(=$\frac{1}{\lambda}$)和Gaussian kernel中$\sigma^2$的选取：

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SVMs in Practice

Using An SVM

这一小节我们介绍如何实际应用SVM。现在在不同的语言环境下已经有很多求解SVM参数的包供我们使用，现在我们来讨论一下C和kernel的选取。（linear kernel是指我们在使用SVM时没用引入kernel）当我们选取Gaussian kernel时，我们考虑$\sigma^2$的选取，以做到对bias-variance的权衡：当$\sigma^2$取值比较大时，hypothesis偏向于high bias；当$\sigma^2$取值较小时，hypothesis倾向于high variance。当特征值不多，training set较大时，Gaussian kernel可能是个较好的选择。当模型含有的特征数量很大时，核函数的计算量变得很大，这时就不适合用Gaussian kernel了。

并不是所有的similarity function都能构造有效的kernel，kernel需要满足Mercer’s Theorem以保证SVM中的优化问题有解。这里给出了使用率较高的几种kernel：polynomial kernel/string kernel/chi-square kernel/histogram，但最常用的还是linear kernel和Gaussian kernel。

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Andrew Ng是从逻辑回归出发去介绍的SVM，所以这里的SVM看起来更像是逻辑回归的一个变形，我会在以后的文章中给出对SVM的介绍。